Differenzialrechnung

Wendepunkt

f(x) = 1/5x4 - 2x2 + 1,8
fI(x) = 4/5x3 - 4x
fII(x) = 2,4x2 -4
fIII(x) = 4,8x

Voraussetzungen:

Um die Wendepunkte zu berechnen brauch man

  • den Funktionswert f(x)
  • die zweite Ableitung fII(x) von f(x)
  • die dritte Ableitung fIII(x) von f(x)

Nullstellenberechnung der zweiten Ableitung
fII(x) = 2,4x2 - 4
0 = 2,4x2 - 4 Ι :2,4
0 = x2 - 5/3 Ι +5/3
5/3 = x2 Ι √
x1 = 1,29
x2 = -1,29

Je nach Funktion kann es einen oder mehrere Wendepunkte geben. In diesem Fall gibt es zwei.

Um die x-Werte der Wendepunktes zu erhalten rechnet man die Nullstellen der zweiten Ableitung aus.
f(1,29) = 1/5 · 1,294 - 2 · 1,292 + 1,8
= -0,97
f(-1,29) = 1/5 · (-1,29)4 - 2 · (-1,29)2 + 1,8
= -0,97

Um die Funktionswerte zu erhalten setzen wir die x-Werte in f(x) ein.
W1 = (1,29 Ι -0,97)
W2 = (-1,29 Ι -0,97)

Aus den x und y Werten können wir nun die beiden Wendepunkte bilden, die mit W ausgezeichnet sind.

Kontrolle
fIII(1,29) = 4,8 · 1,29
= 6,19
fIII(-1,29) = 4,8 · (-1,29)
= -6,19

Um zu kontrollieren, ob es sich wirklich um einen Wendepunkt handelt setzen wir die x-Werte in die dritte Ableitung ein.

Ist das Ergebnis ungleich 0 ist der Wendepunkt bewiesen. Sollte das Ergebnis 0 sein, so kann man den Punkt nicht bestimmen.
03.03.2005