Differenzialrechnung

Extremstellen

f(x) = 1/5x4 - 2x2 + 1,8
fI(x) = 4/5x3 - 4x
fII(x) = 2,4x2 -4

Voraussetzungen:

Um die Extremstellen zu berechnen und später Hoch- und Tiefpunkte zu bestimmen brauch man

  • den Funktionswert f(x)
  • die erste Ableitung fI(x) von f(x)
  • die zweite Ableitung fII(x) von f(x)

Nullstellenberechnung der ersten Ableitung
fI(x) = 4/5x3 - 4x
0 = 4/5x3 - 4x Ι · 5/4
0 = x3 - 5x
0 = x (x2 - 5)
x1 = 0
0 = x2 - 5 Ι +5
5 = x2 Ι √
x2 = 2,24
x3 = -2,24

Unser Ziel ist, die Extremstellen in Form von Punkten angeben zu können (x Ι y).

Dazu rechnen wir zuerst die Nullstellen der ersten Ableitung aus um die x Werte der Punkte zu erhalten.

In unserem Fall nehmen wir dazu das Ausklammerverfahren zu Hilfe.

Die verbleibende quadratische Gleichung ohne lineares Glied rechnen wir einfach durch simples Wurzelziehen aus.
f(0) = 1/5 · 04 - 2 · 02 + 1,8
= 1,8
f(2,24) = 1/5 · 2,244 - 2 · 2,242 + 1,8
= -3,2
f(-2,24) = 1/5 · (-2,24)4 - 2 · (-2,24)2 + 1,8
= -3,2

Wir haben nun drei x Werte. Um aus diesen x Werten einen richtigen Punkt zu machen brauchen wir die Funktionswerte (y) der x Werte.

Diese erhalten wir, indem wir die x Werte in die Funktion f(x) einsetzen.

E1 = (0 Ι 1,8)
E2 = (2,24 Ι -3,2)
E3 = (-2,24 Ι -3,2)

Nun haben wir drei Punkte, sprich drei Extrema. Deswegen werden diese Extrema auch nicht mit P sondern E ausgewiesen.

Hoch- und Tiefpunktanalyse
fII(0) = 2,4 · 02 - 4
= -4 ⇒ H
fII(2,24) = 2,4 · 2,242 - 4
= 8 ⇒ T
fII(-2,24) = 2,4 · (-2,24)2 - 4
= 8 ⇒ T

Um herauszufinden, ob es sich bei den Extrema um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt setzt man die x Werte, die man bei der Nullstellenberechnung von fI(x) herausgefunden hat, in fII(x)

Anhand der Werte, die man erhält lässt sich ablesen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.

Ist der Wert positiv handelt es sich um einen Tiefpunkt

Ist der Wert negativ handelt es sich um einen Hochpunkt
H = (0 Ι 1,8)
T1 = (2,24 Ι -3,2)
T2 = (-2,24 Ι -3,2)
02.03.2005