Differenzialrechnung

Nullstellen

Um die Nullstellen von Funktionen dritten und höheren Grades zu berechnen kann man mehrer Verfahren anwenden. Die Verfahren Polynomdivision und Ausklammern werden im Folgenden genauer beschrieben.

Polynomdivision

f(x) = 0,5x3 - x2 - 2,5x + 3
0 = 0,5x3 - x2 - 2,5x + 3 Ι · 2
0 = x3 - 2x2 - 5x + 6
x01 = 1 denn 13 - 2 · 12 - 5 · 1 + 6 = 0
Wer hierzu noch Fragen hat, sollte sich das Thema Polynomdivision einmal genauer anschauen.
(x³ - 2x² - 5x + 6) : (x - 1) = x² - x - 6
-(x³ - x²)
        -x² - 5x
        -(-x² + x)
                -6x + 6
                -(6x + 6)
                       0
x2 - 1x - 6
x2/3 = - p/2 ± √(p/2)² - q
x2/3 = - (-1/2) ± √(1/2)² - (-6)
x2/3 = 0,5 ± √0,25 + 6
x2/3 = 0,5 ± √6,25
x2 = 3
x3 = - 2
N1 = (1 Ι 0)
N2 = (3 Ι 0)
N3 = (-2 Ι 0)

Ausklammern

f(x) = 1/9x4 - x2
0 = 1/9x4 - x2
0 = x2 · (1/9x2 - 1)
x1 = 0
x2 = 0
0 = 1/9x2 - 1 Ι · 9
0 = x2 - 9 Ι + 9
9 = x2 Ι √
x3 = 3
x4 = -3
N1 = (0 Ι 0)
N2 = (0 Ι 0)
N3 = (3 Ι 0)
N4 = (-3 Ι 0)

Wichtig: Ausklammern ist nur möglich, wenn kein absolutes Glied vorhanden ist.

Beim Ausklammern klammern wir das Glied aus, das durch alle anderen Glieder mindestens einmal teilbar ist.

In diesem Fall kann man beide Glieder (x4, x2) durch das Glied x2 teilen. Wir klammern nun das x2 aus.

Damit haben wir die Gleichung in zwei Produkte aufgeteilt. x2 bildet eines davon. Da wir wissen, dass wir eine Nullstelle haben, sobald ein Produkt durch einsetzen von x 0 ergiebt, ergeben sich hieraus gleich zwei Nullstellen, denn wir setzen für x einfach 0 ein und kommen somit auf ±√0"

Da wir nun noch die Nullstellen des noch eingeklammerten herausfinden müssen bieten sich wieder mehrere Wege an. In diesem Fall blieb eine quadratische Gleichung, die man einfach auflösen konnte indem man das absolute Glied auf die linke Seite brachte und dann die Wurzel zog. Man könnte je nach Gleichung hier nun auch verschiedene Verfahren, wie die p-q Formel oder die Polynomdivision einsetzen.

Substitution

Zu späterem Zeitpunkt werde ich diesen Punkt allerdings noch weiter ausarbeiten.

02.03.2005