Polynomdivision

Wichtige Definitionen
anKoeffizient / Absolutes Glied
xLineares Glied
x²Quadratisches Glied
x³Kubisches Glied

Nullstellenberechnung einer Parabel dritten Gerades anhand der Polynomdivision
f(x) = 0,5x³ - x² - 2,5x + 3
0 = 0,5x³ - x² - 2,5x + 3 | · 2
0 = x³ - 2x² - 5x + 6
x01 = 1 denn 1³ - 2 · 1² - 5 · 1 + 6 = 1
Bei dieser Funktion haben wir es mit einer Funktion dritten Gerades zu tun. Das bedeutet, dass ein kubisches Glied in der Funktion enthalten ist.

Bei dieser Art von Funktion ist es schwieriger die Nullstellen zu berechnen als bei den quadratischen Funktionen.

Zuerst muss das x³ am Anfang der Funktion einmal dastehen.

Danach erraten wir die erste Nullstelle der Funktion, indem wir einfach Zahlen von -3 bis 3 (wenn nicht anders vorgegeben) für x einsetzen.

Die Zahl, die die Funktion dazu bringt den Wert 0 zu ergeben ist die erste Nullstelle der Funktion und bildet das Polynom, mit dem wir die Funktion nun dividieren werden.

 
(x³ - 2x² - 5x + 6) : (x - 1) = x² - x - 6
-(x³ - x²)
        -x² - 5x
        -(-x² + x)
                 -6x + 6
                 -(6x + 6)
                         0

Im nächsten Schritt dividieren wir die Funktion mit dem, durch das Erraten der Nullstelle, neuentstandene Polynom.

Der Rechenweg ist eine einfache schriftliche Division, die man aus der Grundschule kennt. Nur dividieren wir nicht normale Zahlen sondern Polynome.

In diesem Fall haben wir durch das Ermitteln der ersten Nullstelle den Linearfaktor erhalten, mit dem wir nun dividieren werden.
x² - 1x - 6
x = - p/2 ± √(p/2)² - q
x = - (-1/2) ± √(1/2)² - (-6)
x = 0,5 ± √0,25 + 6
x = 0,5 ± √6,25
x1 = 3
x2 = - 2
N1 = (1 | 0)
N2 = (3 | 0)
N3 = (-2 | 0)

Durch die Polynomdivision haben wir eine quadratische Gleichung erhalten, deren Nullstellen wir nun nach einem der bekannten Verfahren berechnen können. In diesem Beispiel wird die p - q - Formel benutzt.

Anhand der p - q Formel können wir nun die restlichen beiden Nullstellen berechnen und haben so am Ende alle drei Nullstellen.
02.02.2005