Wahrscheinlichkeitsrechnung
Einführung
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik werden häufig unter dem Begriff Stochastik zusammengefasst. Stochastik ist also eine Wissenschaft, die sich mit Vermutungen beschäftigt. Vermutungen, die wir aufgrund gewisser Erfahrungen über einen bestimmten Sachverhalt anstellen, sind fast immer mit einer bestimmten Unsicherheit behaftet. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung bietet die Möglichkeit in manchen Situationen den Grad der Unsicherheit mit den Mitteln der Mathematik zu erfassen.
Zufallsexperiment
Ein Zufallsexperiment liegt dann vor, wenn dieses beliebig oft wiederholbar und das Ergebnis nicht vorhersehbar ist.
| Beispiele: | a.) in der Physik z.B. | Experimente | |
| b.) Glücksspiele z.B. | Würfel (1,2,3,4,5,6) | Ergebnis nicht vorhersehbar |
|
| Münze (Kopf oder Zahl) | |||
| Lotto (6 aus 49) |
Mathematische Beschreibung von Zufallsexperimenten:
Ergebnisraum Ω
Die Gesamtheit aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes nennt man Ergebnisraum Ω = {ω1, ω2, ..., ωn}
- Jedes ω ist Ergebnis des Experiments
- Jedes ω wird auf genau ein Element des Ergebnisraumes abgebildet
Beispiel Münze
ω1 = K
ω2 = Z
Ω = {ω1 ; ω2} = {K ; Z}
ΙΩΙ = n(Ω) = 2 = Mächtigkeit
Die Mächtigkeit gibt die Anzahl der Elemente (Ergebnisse) des Ergebnisraumes an.
Beispiel Würfel
ω1 = 1
ω2 = 2
...
ω6 = 6
Ω = {ω1 ; ω2 ; ω3 ; ω4 ; ω5 ; ω6} = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
ΙΩΙ = n(Ω) = 6 = Mächtigkeit
mehrstufige Zufallsexperimente
Es folgen nun Beispiele zum Ergebnisraum zusammengesetzter (mehrstufiger) Zufallsexperimente.
Werfen zweier Würfel
| Ω1 = Werfen eines Würfels = {1,2,3,4,5,6} |
| Ω2 = Werfen eines Würfels = {1,2,3,4,5,6} |
| n(Ω) = n(Ω1) · n(Ω2) = 6 · 6 = 36 |
| Ω = | { | 11, | 12, | 13, | 14, | 15, | 16 | } |
| 21, | 22, | 23, | 24, | 25, | 26 | |||
| 31, | 32, | 33, | 34, | 35, | 36 | |||
| 41, | 42, | 43, | 44, | 45, | 46 | |||
| 51, | 52, | 53, | 54, | 55, | 56 | |||
| 61, | 62, | 63, | 64, | 65, | 66 |
Werfen einer Münze und eines Würfels
| Münze = Ω1 = {K,Z} | ⇒ n(Ω1) = 2 |
| Würfel = Ω2 = {1,2,3,4,5,6} | ⇒ n(Ω2) = 6 |
| n(Ω) = n(Ω1) · n(Ω2) = 2 · 6 = 12 |
| Ω = | { | K1, | K2, | K3, | K4, | K5, | K6 | } |
| Z1, | Z2, | Z3, | Z4, | Z5, | Z6 |
