Lineare Algebra
Lineare Unabhängigkeit und Abhängigkeit
Um eine Menge von Vektoren auf ihre lineare Abhängigkeit zu prüfen setzt man sie = 0 und rechnet das Gleichungsystem dann mit Hilfe einer Matrix aus.
Dabei kommt entweder genau eine Lösung raus, die besagt, dass alle Parameter = 0 sind. Dies bedeutet, die Vektoren sind linear unabhängig.
Die Zweite Lösungsmöglichkeit wären unendlich viele Lösungen. Kommt dies vor sind die Vektoren linear abhängig.
Hat man Lösungen raus, wie keine Lösung oder genau eine Lösung, bei der nicht alle Parameter gleich sind, als Ergebnis heraus, so kann man sicher sein, dass man sich verrechnet hat. :-)
Lineare Abhängigkeit
Eine Menge von Vektoren sind linear abhängig, wenn mindestens einer der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellbar ist. Die Vektoren müssen den Nullvektor auf nicht-triviale Weise kombinieren können, das heißt, dass es Zahlen (s1, s2, ...) gibt, die nicht alle 0 sind!
Daraus folgt, dass zwei Vektoren nur dann linear abhängig sind, wenn sie in die gleiche Richtung zeigen und einer den anderen durch benutzen eines Skalares darstellen kann. Würde man dann ein Gleichungssystem mit zwei Vektoren lösen, so ist das einzige Ergebnis, das lineare Abhängigkeit beweist das Ergebnis: unendlich viele Lösungen. Denn die Vektoren sind richtungsgleich!
Aussehen würde das so:
Arbeitet man mit drei oder mehr Vektoren, so muss man testen, ob diese linear abhängig sind. Man geht dabei wie folgt vor:
Lineare Unabhängigkeit
Eine Menge von Vektoren Vektoren sind linear abhängig, wenn keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellbar ist. Die Vektoren müssen den Nullvektor nur auf triviale Weise kombinieren können, das heißt, dass es Zahlen (s1, s2, ...) gibt, die alle 0 sind!
