Integralrechnung

Fläche ober- und unterhalb der x-Achse

Fläche unterhalb der x-Achse

f(x) = 2x² - 12x + 10

Diese Funktion ist gegeben. Die Aufgabe ist, die Fläche in den Grenzen von 2 bis 4 zu berechnen.

0 = 2x² - 12x + 10 Ι : (2)
0 = x² - 6x + 5
x1/2 = -p/2 ± √(p/2)² - q
x1/2 = -(-6/2) ± √(-6/2)² - 5
x1/2 = 3 ± √9 - 5
x1/2 = 3 ± √4
x1 = 5
x2 = 1

Am Anfang einer Integralrechnung sollte man immer eine Zeichnung des Graphen anfertigen, um genau zu sehen, ob eine Fläche unter- oder oberhalb der x-Achse liegt. Dazu errechnet man zuerst die Nullstellen anhand eines der bekannten Verfahren, wie zum Beispiel der hier angewandten p - q - Formel.

Fläche unterhalb der x-Achse

Nachdem man die Nullstellen berechnet hat, ist es nicht mehr schwer, die Zeichnung anzufertigen.

Wir sehen hier, dass der Graph in den Grenzen von 2 bis 4 unterhalb der x-Achse liegt. Das heißt, wir können direkt von 2 bis 4 rechnen, müssen den Ergebniswert dann aber als Betrag nehmen.

24 f(x) dx
24 (2x² - 12x + 10) dx
= [2/3x³ - 6x² + 10x]24
= [2/3 · 4³ - 6 · 4² + 10 · 4]
- [2/3 · 2³ - 6 · 2² + 10 · 2]
= [42,66 - 96 + 40]
- [5,33 - 24 + 20]
= [-13,33] - [1,33]
= Ι -14,66 Ι
= 14,66

Nun integrieren wir die Funktion.

Danach setzen wir zuerst den größeren und dann den kleineren Grenzwert in die Funktion ein. Die Funktion mit dem kleineren Grenzwert wird von der mit dem größeren Grenzwert abgezogen.

Da der Graph unterhalb der x-Achse verläuft ist das Ergebnis negativ. Da es aber keine negativen Flächen gibt, wandeln wir das Ergebnis in einen Betrag um (dargestellt durch die beiden vertikalen Striche).

Fläche ober- und unterhalb der x-Achse

f(x) = 1/4x³ - 3x² + 8x

Diese Funktion ist gegeben. Man soll die Fläche zwischen den Grenzen 1,6 und 8,6 berechnen.

0 = 1/4x³ - 3x² + 8x Ι · 4
0 = x³ - 12x² + 32x
0 = x(x² - 12x + 32)
x1 = 0
0 = x² - 12x + 32
x2/3 = -(-12/2) ± √(-12/2)² - 32
x2/3 = 6 ± 2
x2 = 8
x3 = 4

Um eine Zeichnung erstellen zu können muss man die Nullstellen berechnen. Dies macht man am Besten anhand des Ausklammer Verfahrens und der p - q - Formel.

Fläche unter- und oberhalb der x-Achse

Wir erkennen, dass zwischen den Grenzen der Graph teilweise unter der x-Achse verläuft. Das heißt, wir müssen die Flächen stückweise berechnen.

Normal rechnet man die Fläche 1,6 - 4 und 8 - 8,6. Das Ergebnis der Fläche zwischen 4 - 8 nimmt man als Betrag.

1,64 f(x) dx + Ι48 f(x) dx Ι + 88,6 f(x) dx
 
(1/4x³ - 3x² + 8x) dx
= [1/16x4 - x³ + 4x²]
 
A = [1/16x4 - x³ + 4x²]1,64
A = [1/16 · 44 - 4³ + 4 · 4²]
- [1/16 · 1,64 - 1,6³ + 4 · 1,6²]
A = [16] - [6,55]
A = 9,45
 
B = [1/16x4 - x³ + 4x²]48
B = [1/16 · 84 - 8³ + 4 · 8²]
- [1/16 · 44 - 4³ + 4 · 4²]
B = [0] - [16]
B = Ι -16 Ι
B = 16
 
C = [1/16x4 - x³ + 4x²]88,6
C = [1/16 · 8,64 - 8,6³ + 4 · 8,6²]
- [1/16 · 84 - 8³ + 4 · 8²]
C = [1,66] - [0]
C = 1,66
 
1,68,6 = A + B + C
1,68,6 = 9,45 + 16 + 1,66
1,68,6 = 27,11
22.10.2005